まあ、たいていの生徒はこう考える。
漸化式
a_1=1
a_{n+1}=2a_n …?
が与えられているとき、これは初項1、公比2の等比数列であるから、
a_n=1・2^{n-1} …?
となる。
どうやったら、?の式が?の式に変形出来るんですか？
?は?を変形したものではない。
最近は、こう解説している。
「?は暗号だ。素人に知られたくないから、へんな暗号で伝えてるんだよ。」
つまり
「?⇔コレハコウヒ2ノ、トウヒスウレツダヨ！」
といっているんだ、と。
暗号を読み取ったら、翻訳しないと。
翻訳とは、一般項を書くこと。
と教えてる。
だから、
a_1=2
a_{n+1}=2a_n-1 …?
のような漸化式なら、こうなる。
「今度は、内部のものにも分からないように、高度なセキュリティーがかかってるんだよ。」
「だから、そのセキュリティーを解除する鍵が必要なんだ。」
鍵とは特性方程式の解（ここでは1）のことである。
?の両辺から1を引くことで、
a_{n+1}-1=2(a_n-1)
となり、
「ほら、さっきのセキュリティーがかかってない暗号に戻ったでしょ」
と続ける。
彼らにとって、数式の持つ意味を考えるって、たぶんこれが初めてなんじゃないか？
漸化式
a_1=1
a_{n+1}=2a_n …?
が与えられているとき、これは初項1、公比2の等比数列であるから、
a_n=1・2^{n-1} …?
となる。
どうやったら、?の式が?の式に変形出来るんですか？
?は?を変形したものではない。
最近は、こう解説している。
「?は暗号だ。素人に知られたくないから、へんな暗号で伝えてるんだよ。」
つまり
「?⇔コレハコウヒ2ノ、トウヒスウレツダヨ！」
といっているんだ、と。
暗号を読み取ったら、翻訳しないと。
翻訳とは、一般項を書くこと。
と教えてる。
だから、
a_1=2
a_{n+1}=2a_n-1 …?
のような漸化式なら、こうなる。
「今度は、内部のものにも分からないように、高度なセキュリティーがかかってるんだよ。」
「だから、そのセキュリティーを解除する鍵が必要なんだ。」
鍵とは特性方程式の解（ここでは1）のことである。
?の両辺から1を引くことで、
a_{n+1}-1=2(a_n-1)
となり、
「ほら、さっきのセキュリティーがかかってない暗号に戻ったでしょ」
と続ける。
彼らにとって、数式の持つ意味を考えるって、たぶんこれが初めてなんじゃないか？
コメント
そこまで詳しく専門的にやっていませんが、
ある量Uの変化の式が
(dU)／(dt)=f(U)
とおけるなら、左辺を(U_{n+1}-U_n)/(?t)とおくことで
U_{n+1}=U_{n}＋?t・f(U)
となり、（形式上）等差数列に引き込めます。
これで、様々なシミュレーションに活用できます。
それさえ分かれば、連立漸化式
a_{n+1}=pa_{n}+qb_{n}
b_{n+2}=ra_{n}+sa_{n}
から{a_n}のみで書くと3項間漸化式が出ます（ちなみにハミルトン・ケーリーの定理になる）が、これをa_{n-1}について解くと、最初に示したような式に帰着でき、単振動の微分方程式が導かれます。
入試問題では、
x_{k-1}-2x_k+x_{k+1}>0 (2≦k≦n-1)
を満たすとき、x_kの最小値をmとする。
このときx_{l}=mを満たすlの個数が1または2であることを示せ。(京都大)
に見られます。
あ、これを日記にすればよかった・・・